DER SCHUBERT-ZELLKOMPLEX DER GRASSMANN-MANNIGFALTIGKEITEN

STEFAN BECHTLUFT-SACHS

Der Schubert-Zellkomplex der Grassmann-Mannigfaltigkeiten. Die Grassmann-Mannigfaltigkeiten G_{n}(N) = O(N)/(O(n) × O(N − n) kann man sich vorstellen als Menge der n-dimensionalen Untervektorräume des ℝ^{N}. Eine ausführliche Diskussion dieser Räume findet man z.B. in [Wolf], [Whitehead] S. 204. Betrachte die Untermannigfaltigkeit

S̄ = {(a_{1}, …, a_{n}) | a_{i} ∈ ℝ^{N−n+i}, ⟨a_{i} | a_{j}⟩ = δ_{i,j}}

von S^{N−n} × … × S^{N−1}. Auf S̄ operiert die Gruppe G = (ℤ/2ℤ)^{n} = {(μ(1), …, μ(n)) | μ(i) = ±1} durch

(μ(1), …, μ(n)) × (a_{1}, …, a_{n}) ↦ (μ(1)a_{1}, …, μ(n)a_{n}) .

Für a ∈ ℝ^{N} sei σ(a) = min {q ∈ ℕ | a ∈ ℝ^{q}} und für a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ S̄ schreiben wir σ(a) = (σ(a_{1}), …, σ(a_{n})). Die Wirkung von G schränkt sich auf die Teilmenge

S = {(a_{1}, …, a_{n}) ∈ S̄ | 0 < σ(a_{1}) < … < σ(a_{n}) ≤ N}

ein. Der Quotient S/G ist die Grassmann-Mannigfaltigkeit G_{n}(N). Zunächst definieren wir eine G-invariante Zellzerlgung von S. Für σ = (s_{1}, …, s_{n}) ∈ ℕ^{n} mit 0 < s_{1} < s_{2} < … < s_{n} ≤ N benutzen wir folgende Notation:

S_{σ} := {(a_{1}, …, a_{n}) ∈ S | a_{i} ∈ ℝ^{s_{i}}}
|σ| := ∑_{i=1}^{n} s_{i} − i
σ_{l} := (s_{1}, …, s_{l} − 1, …, s_{n})
μ_{l} := (μ(1), …, μ(l − 1), −μ(l), μ(l + 1), …, μ(n))
S_{k} := ⋃_{|σ|=k} S_{σ}
e^{(σ,μ)} := {(a_{1}, …, a_{n}) ∈ S | a_{i} ∈ ℝ^{s_{i}}, sgn ⟨a_{i} | e_{s_{i}}⟩ = μ(i)} .

Dann ist

S_{σ} = S_{σ_{l}} ∪ ⋃_{μ∈G} e^{(σ,μ)}

und

S_{k} = S_{k−1} ∪ ⋃_{μ∈G,|σ|=k} e^{(σ,μ)} .

Die Parametrisierung der Zellen. Abhängig von σ fassen wir die Standard-|σ|-Zelle D^{|σ|} auf als

Δ^{|σ|} = D^{s_{1}} × … × D^{s_{n}}

und definieren vermöge dieser Identifkation eine Abbildung

(σ, μ) : Δ^{|σ|} → S_{σ}

durch

(x_{1}, …, x_{n}) ↦ (a_{1}, …, a_{n})

mit

a_{k} = R_{μ_{k−1}e_{s_{k−1}}}^{a_{k−1}} ⋯ R_{μ(1)e_{s_{1}}}^{a_{1}}F^{σ}x_{k}, μ(k)\sqrt{1 − x_{k}^{2}} .

Dabei bildet

F^{σ} : ℝ^{s_{k}−k} → ℝ^{s_{k}−1}
(ξ_{1} … ξ_{s_{k}−k}) ↦ (ξ_{1} … ξ_{s_{1}−1}, 0, ξ_{s_{1}}, …, ξ_{s_{2}−2}, 0, …, ξ_{s_{k}−k})

ab, d.h. die j-te Koordinate ist

(F^{σ}(ξ_{1} … ξ_{s_{k}−k}))_{j} = \{ \begin{matrix}0 & wenn & j ∈ σ \\ ξ_{j−#\{q|s_{q}<j,s_{q}∈σ\}} & wenn & j ∉ σ \end{matrix}

Wenn a_{q} = μ(q)e_{s_{q}}, so sei R_{μ(q)e_{sq}}^{a_{q}} = id_{ℝ^{s_{k}}}. Andernfalls sei R_{μ(q)e_{sq}}^{a_{q}} die Drehung in der von a_{q} und e_{s_{q}} erzeugten Ebene des ℝ^{s_{k}}, die μ(q)e_{s_{q}} auf a_{q} dreht und auf dem orthogonalen Komplement dieser Ebene die Identität ist. (Diese Ebene ist dann wohldefiniert, da ⟨a_{q} | μ(q)e_{s_{q}}⟩ ≥ 0.) Die Einschränkung von (σ, μ) auf den Rand

∂Δ^{|σ|} = ⋃_{q=1}^{n} ∂_{q}D^{|σ|} ,

∂_{q}Δ^{|σ|} = D^{s_{1}−1} × ⋯ × D^{s_{q−1}−(q−1)} × S^{s_{q}−q−1} × D^{s_{q+1}−(q+1)} × ⋯ × D^{s_{n}−n}

der Standard-|σ|-Zelle liefert die Anklebeabbildung. Wir erhalten

Satz 1. Eine Zellzerlegung von S ist gegeben durch (1) Das k-Skelett von S ist S_{k} für k = 0 … n(N − n).

(2) S_{k} entsteht aus S_{k−1} durch Ankleben einer k-Zelle für jedes σ mit |σ| = k durch

(σ, μ) : Δ^{σ} → S_{k−1}. Diese Zellzerlegung ist regulär, d.h. die Anklebeabbildungen sind Einbettungen.

Die Inzidenzmatrizen. Aufgrund der Regularität dieser Zellzerlegung sind die Abbildungsgrade der Anklebeabbildungen und damit die Einträge der Inzidenzmatrizen gleich ±1 oder 0. Um diese Einträge zu bestimmen, vergleichen wir die Parametrisierungen, die wir auf e^{(σ_{l},μ′)} erhalten, wenn wir die (σ, μ) auf ∂_{l}Δ^{|σ|} einschränken, mit der ,,direkten” Parametrisierung durch (σ_{l}, μ′). Dabei kommen nur die Fälle μ′ = μ und μ′ = μ_{l} vor. Die Sphäre S^{n} ⊂ ℝ^{n+1} orientieren wir dabei so, daß eine Basis v_{1}, …, v_{n} von T_{x}S^{n} genau dann orientiert ist, wenn v_{1}, …, v_{n}, x und e_{1}, …, e_{n+1} gleich orientiert sind. Die Parametrisierung

χ_{±} : (y_{1}, …, y_{n}) ↦ (y_{1}, …, y_{l−1}, (y_{l}, ±\sqrt{1 − y_{l}^{2}}), y_{l+1}, …, y_{n})

von ∂_{l}Δ^{|σ|} hat dann

sgn (χ_{±}) = ±(−1)^{∑_{q=l+1}^{n}(s_{q}−q)} .

Sei im folgenden ν = 1, wenn μ′ = μ und ν = −1, wenn μ′ = μ_{l}.

(x_{1}, …, x_{n}) ⟼^{(σ,μ)} \{ \begin{matrix}a_{1} & = & F^{σ}x_{1}, μ(1)\sqrt{1 − x_{1}^{2}} \\ · \\ a_{l−1} & = & R_{μ_{(}l−2)e_{s_{l−2}}}^{a_{l−2}} ⋯ R_{μ(1)e_{s_{1}}}^{a_{1}}F^{σ}x_{l−1}, μ(l − 1)\sqrt{1 − x_{l−1}^{2}} \\ a_{l} & = & R_{μ(l−1)e_{s_{l−1}}}^{a_{l−1}} ⋯ R_{μ(1)e_{s_{1}}}^{a_{1}}F^{σ}x_{l}, μ(l)\sqrt{1 − x_{l}^{2}} \\ a_{l+1} & = & R_{μ(l)e_{s_{l}}}^{a_{l}} ⋯ R_{μ(1)e_{s_{1}}}^{a_{1}}F^{σ}x_{l+1}, μ(l + 1)\sqrt{1 − x_{l+1}^{2}} \\ · \\ a_{n} & = & R_{μ(n−1)e_{s_{n−1}}}^{a_{n−1}} ⋯ R_{μ(l)e_{s_{l}}}^{a_{l}} ⋯ R_{μ(1)e_{s_{1}}}^{a_{1}}F^{σ}x_{n}, μ(n)\sqrt{1 − x_{n}^{2}} \end{matrix}

↑ χ_{νμ(l)}

(y_{1}, …, y_{n}) ⟼^{(σ_{l},μ′)} \{ \begin{matrix}b_{1} & = & F^{σ_{l}}y_{1}, μ(1)\sqrt{1 − y_{1}^{2}} \\ · \\ b_{l−1} & = & R_{μ(l−2)e_{s_{l−2}}}^{b_{l−2}} ⋯ R_{μ(1)e_{s_{1}}}^{b_{1}}F^{σ_{l}}y_{l−1}, μ(l − 1)\sqrt{1 − y_{l−1}^{2}} \\ b_{l} & = & R_{μ(l−1)e_{s_{l−1}}}^{b_{l−1}} ⋯ R_{μ(1)e_{s_{1}}}^{b_{1}}F^{σ_{l}}y_{l}, νμ(l)\sqrt{1 − y_{l}^{2}} \\ b_{l+1} & = & R_{νμ(l)e_{s_{l}−1}}^{b_{l}} ⋯ R_{μ(1)e_{s_{1}}}^{b_{1}}F^{σ_{l}}y_{l+1}, μ(l + 1)\sqrt{1 − y_{l+1}^{2}} \\ · \\ b_{n} & = & R_{μ(n−1)e_{s_{n−1}}}^{b_{n−1}} ⋯ R_{νμ(l)e_{s_{l}−1}}^{b_{l}} ⋯ R_{μ(1)e_{s_{1}}}^{b_{1}}F^{σ_{l}}y_{n}, μ(n)\sqrt{1 − y_{n}^{2}} \end{matrix}

Die Inzidenzzahl [(σ, μ) : (σ_{l}, μ′)] ist dann der Grad von

(σ_{l}, μ′)^{−1} ∘ (σ, μ) ∘ χ_{νμ(l)}(y_{1}, …, y_{n}) ↦ (y′_{1}, …, y′_{n}) ,

wobei

y′_{j} = y_{j}

für j ≤ l. Für j > l ist

y′_{j} = (R_{μ(j−1)e_{s_{j−1}}}^{a_{j−1}} ⋯ R_{νμ(l)e_{s_{l}−1}}^{a_{l}} ⋯ R_{μ(1)e_{s_{1}}}^{a_{1}}F^{σ_{l}})^{−1} ×
R_{μ(j−1)e_{s_{j−1}}}^{a_{j−1}} ⋯ R_{μ(l)e_{s_{l}}}^{a_{l}} ⋯ R_{μ(1)e_{s_{1}}}^{a_{1}}F^{σ}y_{l+j}, μ(j)\sqrt{1 − y_{l+j}^{2}}
= (R_{μ(l−1)e_{s_{l−1}}}^{a_{l−1}} ⋯ R_{μ(1)e_{s_{1}}}^{a_{1}}F^{σ})^{−1}(R_{νμ(l)e_{s_{l}−1}}^{a_{l}})^{−1}R_{μ(l)e_{s_{l}}}^{a_{l}} ⋯ R_{μ(1)e_{s_{1}}}^{a_{1}}F^{σ}y_{j}, μ(j)\sqrt{1 − y_{j}^{2}} .

also

[(σ, μ) : (σ_{l}, μ)] = μ(l)(−1)^{n−l+∑_{q=l+1}^{n}(s_{q}−q)}
[(σ, μ) : (σ_{l}, μ_{l})] = −μ(l)(−1)^{∑_{q=l+1}^{n}(s_{q}−q)}

Um den Kettenkomplex von G_{n}(N) zu bestimmen, brauchen wir noch die Operation von G. Bezeichnen wir mit π : S → G_{n}(N) die Quotientenabbildung und τ_{l} die Punktspiegelung des l-ten Vektors, also

τ_{l} : (a_{1}, …, a_{l−1}, a_{l}, a_{l+1}, …, a_{n}) ↦ (a_{1}, …, a_{l−1}, −a_{l}, a_{l+1}, …, a_{n})

so erhalten wir

τ_{l}(σ, μ) = (−1)^{s_{l}−l}(σ, μ_{l}) .

und können die Zelle (σ) von G_{n}(N) so orientieren, daß π(σ, (1, …, 1)) = σ. Damit folgt mit μ = (1, …, 1) aus der Äquvarianz der Zellzerlegung von S unter der Wirkung von G, daß

∂(σ) = ∂π(σ, μ) = π∂((σ, μ)
= π([(σ, μ) : (σ_{l}, μ)](σ_{l}, μ) + [(σ, μ) : (σ_{l}, μ_{l})](σ_{l}, μ_{l}) + R)
= ([(σ, μ) : (σ_{l}, μ)]π(σ_{l}, μ) + [(σ, μ) : (σ_{l}, μ_{l})]π(σ_{l}, μ_{l}) + R)
= (−1)^{n−l+∑_{q=l+1}^{n}(s_{q}−q)}(σ_{l}) + −(−1)^{∑_{q=l+1}^{n}(s_{q}−q)}(−1)^{s_{l}−1−l}(σ_{l}) + R)
= ((−1)^{n−l+∑_{q=l+1}^{n}(s_{q}−q)} − (−1)^{∑_{q=l+1}^{n}(s_{q}−q)}(−1)^{s_{l}−1−l})(σ) + R) ,

wobei R den Beitrag von Zellen bezeichnet, die unter π nicht auf (σ) abgebildet werden. Die Inzidenzzahl in G_{n}(N) ist also

[(σ) : (σ_{l})] = (−1)^{n−l+∑_{q=l+1}^{n}(s_{q}−q)}(1 + (−1)^{s_{l}−n}) .

Homologie und Kohomologie mit Koeffizienten ℤ/2ℤ ergeben sich daraus unmittelbar: Die Inzidenzzahl [(σ) : (σ_{l})] ist immer gleich 0 modulo 2 und damit sind die zellulären Kettengruppen schon die Homologiegruppen. Wir erhalten also

Satz 2. Die Homologie der Grassmann-Mannigfaltigkeit G_{n}(N) mit Koeffizienten ℤ/2ℤ ist

H_{q}(G_{n}(N), ℤ/2ℤ) ≅ ℤ/2ℤ{(s_{1}, …, s_{n}) | 1 ≤ s_{1} < s_{2} < … s_{n} ≤ N, ∑_{i=1}^{n} s_{i} − i = q} .

Schließlich geben wir noch die Inzidenzzahlen für die orientierten Gassmann-Mannigfaltigkeit

G_{n}^{+}(N) := {(V, O) | V ⊂ ℝ^{N} Untervektorraum, dim V = n, O eine Orientierung auf V }

an. Fassen wir G ⊂ 𝕊_{2n} auf als Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf 2n Elementen, so sei G^{+} = G ∩ 𝔸_{2n} die Menge der geraden Permutationen aus G. Mit anderen Worten ist

G^{+} = {(μ(1), …, μ(n)) | ∏_{i=1}^{n} μ(i) = 1} .

Dann ist

G_{n}^{+}(N) := S/G^{+} .

Bezeichnen wir mit (σ, +) und (σ, −) die Bilder von (σ, (1, …, 1)) bzw. (σ, (−1, 1, …, 1)) unter der Projektion S → G_{n}^{+}(N), so erhalten wir

[(σ, +) : (σ_{l}, +)] = (−1)^{n−l+∑_{q=l+1}^{n}(s_{q}−q)}
[(σ, +) : (σ_{l}, −)] = −(−1)^{s′_{1}−1+s′_{l}−l+∑_{q=l+1}^{n}(s_{q}−q)}
[(σ, −) : (σ_{l}, −)] = (−1)^{n−l+∑_{q=l+1}^{n}(s_{q}−q)}
[(σ, −) : (σ_{l}, +)] = −(−1)^{s′_{1}−1+s′_{l}−l+∑_{q=l+1}^{n}(s_{q}−q)}

wobei s′_{i} der i-te Eintrag in σ_{l} ist.

Literatur

[Whitehead] G. W. Whitehead: Elements of Homotopy Theory, Springer, Graduate Texts in Mathematics [Wolf] J. A. Wolf: Spaces of Constant Curvature, McGraw-Hill, 1967